ルーターのインターフェースとは？なぜ複数IPを持つ？

ルーターの「足」です。ルーターは複数のネットワークをつなぐ機器なので、ネットワークの数だけ接続点が必要で、それがインターフェースです。

各インターフェースは、接続先ネットワークに属するIPアドレスを1つ（以上）持ちます。家庭用ルーターなら、LAN側に 192.168.1.1、WAN側にプロバイダから配られたグローバルIP、という具合です。

「ゲートウェイのIP」とは、あなたの側を向いたインターフェースのIPのことでした。