ルーターとは？

Router: 異なるネットワーク同士をつなぎ、宛先IPを見て転送先を選ぶ機器。

ルーターは「ネットワーク同士の関所」です。複数のネットワークに足（インターフェース）を持ち、届いたパケットの宛先IPを見て、「これはあちらのネットワーク行き」と判断して送り出します。

ポイントは、ルーター自身も各ネットワークの住人だということです。あなたのPCから見たデフォルトゲートウェイは、ルーターの「こちら側の顔」にあたります。