端末はDNSサーバーのIPをどうやって知った？

多くの場合、答えは DHCP です。接続時に、DNSサーバーのIPアドレスがDHCPオプション6として一緒に配られています。OSのネットワーク設定画面で「DNSサーバー: 自動取得」となっているのがそれです。

手動で設定することもでき、会社では社内DNS、家庭ではルーターやプロバイダのDNS、そして 1.1.1.1 や 8.8.8.8 のような公開DNSを指定する例もあります。

つまり「DNSサーバーの住所を知る問題」は、DHCPという別の仕組みが先に解決しています。