ゲートウェイはいつ使われる？同じLAN内では使わない？

その通りで、ゲートウェイが登場するのは「宛先が自分のネットワーク外」と判断されたときだけです。

Webサイトを開く流れでは、宛先サーバーは通常は外にあるため、判断ステップ（同一ネットワーク判定）の直後からゲートウェイが主役になります。フレームはゲートウェイ宛に送られ、そこから先はルーターの世界です。

一方、同じオフィスのプリンターへの印刷など、LAN内で完結する通信にゲートウェイは一切関与しません。